Nabíječka v žádném případě nedodá proud potřebný pro starter, takže její připojení k vybité baterce nepomůže - na to bys potřeboval startovací zdroj, nebo prostě připojit kvalitními startkabely ("ne zrádci v nouzi" z pumpy, nebo Kauflandu) pomocný akumulátor, klidně z auta. Tebou popisované "cvrkání", ať už cvakání, nebo "cvrčení", dělá relé starteru - při slabé baterce je to normální, dochází k cyklickému jevu vlivem změny napětí periodickým odpojováním a připojováním zátěže.
Pokud jde o nabíječku, tak pokud o byla nějaká klasika, tak u té mohla maximálně shořet pojistka, v horším případě by se zničily diody (ale to se prakticky vůbec nestává). Moderní elektronické nabíječky by měly mít ochranu proti zkratu na výstupu (starter svým příkonem de facto pro nabiječku zkrat udělá), takže těm by se nic stát nemělo.
Nech baterku naplno nabít, jak už zde zaznělo (AGM, nebo gelovou max. na 14.2V, kapalinovou klasiku se zátkami na max. 16.2V - pozor, nemusí být schopná takového napětí dosáhnout, stačí sledovat, kdy už se napětí znatelně nezvyšuje - třeba o 0.5V za 1/2 hodiny) a uvidíš. Jestli ani pak starter neutáhne, má zvýšený vnitřní odpor a je na vyhození.
Ještě může nastat zrádná situace, kdy po zapnutí starteru klesne napětí jen o tolik, že starter ještě "nápadně nezpomalí" (točí zdánlivě dobře), ale na pořádnou jiskru na svíčkách už to nestačí. Když po připojení pomocné baterky (plně nabité, na 100% dobré a kvalitními kabely) motor bez problémů chytne, jedná se přesně o tento případ a baterka je též na vyhození - ne sice úplně, ještě půjde použít třeba k napájení nějakých záložních zdrojů, autolednic apod., ale na startování už stačit nebude.

J.M.K.> Je nabíječka a nabíječka. Mám nabíječku, která dává až 40 A (jde přepnout i jako startovací zdroj na 5 s cca 150 A) a i v režimu nabíjení je schopná pomoct baterii která není 100% v nastartování. I těch 40-50 A co dodá při startu je sakra znát, navíc udrží i napětí při startu. Ale je fakt, že běžná nabíječka s 5-10 A nezmůže nic.
Jinak ještě perlička ze života: Bacha na startování bezprostředně po nabíjení baterie! Už se mi jednou baterie roztrhla - byla dost vymlácená, takže se nechala nabíjet a po startu rána a kyselina všude kolem. Zřejmě plynovala a při startu to někde zajiskřilo. Takže po delším nabíjení už nechám baterii třeba půl hodinky oddechnout, případně u dolévací klasiky odšroubuju zátky a nechám odvětrat. Nabít do plynování, odpojit káble a hned nastartovat může být o hubu.